摘 要：提出在各種測量精度及誤差不同分布形式下，實際處理實驗不確定度的幾種近似方法。
關 鍵 詞：測量誤差；分布形式；不確定度；實際處理
中圖分類號: O4-34 文獻標識碼：A 文章編號：1000-274X(2003)0048-04
任何測量都存在誤差，由于測量的客觀真值無法得知及測量條件的非理想化，使誤差大小無法確定。為了使測量誤差減到最小，除選擇不同測量方法外，還確立了各種誤差特征分類及分布規律，用來作誤差處理。國際計量委員會通過的《BIPM實驗不確定度的說明建議書INC-1 （1980）》（以下簡稱建議書）建議用不確定度（uncertainty）取代誤差（error）來表示實驗結果，并按其性質將不確定度從估計方法上分為按統計分布的A類不確定度和按非統計分布的B類不確定度兩類，分別進行處理后再進行合成。從而使得“由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度”得到更科學的評估。由近年來關于不確定度的許多討論文章及不確定度的定義，我們可以對誤差和不確定度的關系理解為：測量中的不可靠量值為誤差，導致測量結果的不可靠量值為不確定度。標準偏差較集中地反映了測量誤差對實驗結果的影響，而不確定度則綜合了全部誤差因素對實驗結果的影響。但是，由于不確定度的運用仍在“建議”階段以及它與誤差的緊密聯系，且誤差從根本上說又是“一種粗略的估計”，所以不確定度的估算很難用簡單的定義來解決，而是需要按實際情況合理地加以處理。筆者根據不同實驗條件的具體情況，提出幾點實驗不確定度的實際處理方法。
1 高精度測量結果（誤差正態分布時）不確定度的估算
參考《建議書》的精神，總不確定度u從估計方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復測量，用統計方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統計方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
參考《建議書》的精神，總不確定度u從估計方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復測量，用統計方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統計方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
此項分量（測量次數較多，n＞10時）一般直接由測量列平均值的標準偏差來近似估計，即
⑴
式中： 為有限次測量平均值的標準偏差； 為有限次測量列單次測量的標準偏差。
1.2 B類不確定度分量的估算
此項分量的估算，要對影響測量結果的各項進行仔細分析研究以確定其分布、大小、相關因子等，并用經驗方法將其換算成與標準偏差有相同置信概率的分量，而最后合成。
1.3 總不確定度的估算
根據《建議書》要求，合成不確定度及其分量要用“標準偏差”的形式，即方和根的形式表示為
⑵
合成不確定度 乘以對應于某一置信概率P 的置信因子 ，則得到總不確定度u。
此類不確定度的估算屬計量、標定及高精度測量（相對不確定度在0.001以內）等部門專業人員的工作，許多問題的分析已超出普通測量的要求范圍。一般數據處理教材及國家計量技術標準中［１］都是以不確定度分布服從正態分布理論為依據的，這主要是由于目前正態分布的研究最完善，用其他分布分析測量結果的合成不確定度比較困難，而以近似正態分布來處理。
2 少次數測量情況下不確定度的估算
2.1 不確定度A類分量的估算
在許多情況下（如普通物理實驗），一般測量次數不大于10（5＜n≤10）時，以算術平均值的標準偏差作為A類分量，仍以正態分布作測量結果的報道，則將出現較大偏差（偏小），從而夸大了實驗的精確度［２］。這時，常以聯系正態樣本平均值 和偏差 的統計量 （ 為期望值）所服從的t分布（又稱Student分布）來報道平均值的誤差更為合理。可以推導：當5＜n≤10時，取 ，由t分布的概率數表可算得置信概率P，如表1。
表 1 置信概率表
Tab.1 Believe probability
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測量次數n
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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|
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1.41
|
1.73
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2
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2.24
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2.45
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2.65
|
2.83
|
3
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3.16
|
3.32
|
|
置信概率P
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0.610
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0.775
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0.861
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0.911
|
0.942
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0.962
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0.974
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0.983
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0.988 8
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0.992
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所以，以統計方式估計的A類分量不確定度 簡化等于測量列的單次測量標準偏差［３］。
即 （n－1為自由度；P接近或大于95%）。
⑶
⑶
2.2 不確定度B類分量的估算
B類分量常以儀器誤差 乘以與其分布有關的因子 簡化表示［３］。如前所述，在少次數測量情況下，具體分析 的原因和確定 已超出了實驗課程的要求范圍。但是，因 為儀器的允許誤差（檢定規程或有關技術文件規定的計量器具所允許的極限值），則應有接近100%的置信概率（P≈0.99）。因而，大多數實驗可簡化近似 與 取相同置信因子P≥0.95 ，而直接將 當作總不確定度中B類分量（ 可從有關國家標準查得）。
2.3 總不確定度的估算
以 作為總不確定度A類分量， 為總不確定度的B類分量，按照方和根的合成形式，總不確定度可簡化用下式求出
（P≥95%）
這一估計方法，與國際上工業技術和商務活動中所推薦的置信概率P=0.95，以及考慮實驗的實際應用性而采用高置信度的做法相一致，也是與我國有關技術規范基本一致的比較簡單、合理的估算方法，且在實驗中用帶有統計運算功能的計算器可方便地求得 和u。
3 普通精度實驗不確定度的估算
3.1 A類不確定度的估算
普通精度測量（相對不確定度在0.01~0.001左右）如普通物理實驗等，因精度要求較低，則可只討論主要幾個影響較大的誤差分量而忽略其他微小分量。因不確定度的有效數字在普通測量中一般只取一位，此項可根據不確定度傳遞公式，將小于最大分量1/3之后的各項舍去，而后按測量列平均值的標準偏差公式計算（見式⑴）。
3.2 B類不確定度的估算
B類不確定度的估算，如能確定其分布規律，可按各自分布規律處理。一般情況下，因數理統計，誤差分布等已超出普通測量討論范圍，可采用近似標準偏差來估算。如，當非統計不確定度相應的估計誤差為正態分布時，取，非統計不確定度相應的估計誤差為均勻分布（方法、環境、數字儀表等誤差分布）時，取 等。式中Δ為非統計不確定度相應的估計誤差限，常取為儀器誤差 。
3.3 總不確定度的合成
把各分量按“標準偏差”的形式合成，其中包括按各自分布處理的分量及非統計分量按正態分布近似處理的非正態估算分量，且一般采用平均值的一倍標準偏差估算（P=0.683）。此類估算方法為一較好近似結果，且在普通精度測量的不確定度估算中，避免了許多次要影響量及復雜的處理過程［４］。
4 特殊情況不確定度的估算
如當B類不確定度較小（可忽略），則總不確定度直接用A類不確定度 表示。對于少次數測量，可用單次測量的標準偏差 表示，即 。
如，當 ，或因估計出的u對實驗最后結果影響甚小，或因條件限制只進行了一次測量時，u可簡單的用 表示。對于少次數測量，可直接以 表示，即 。
實驗不確定度的估計是以嚴密的數理統計理論為基礎的，而在絕大多數情況下實驗者往往不具備數理統計、誤差分布方面的專業知識，或沒有必要作過多的復雜處理。本文所述的實驗不確定度的幾種近似估算方法，可在實際運用中作以參考。
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